وبلاگ آرکو فایل اسکای _ دانلود فایل
معرفی و دانلود مقالات ، تحقیقات و پروژه های دانشجویی در تمامی رشته هاوبلاگ آرکو فایل اسکای _ دانلود فایل
معرفی و دانلود مقالات ، تحقیقات و پروژه های دانشجویی در تمامی رشته هاکاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تکین
| دسته بندی | ریاضی |
| بازدید ها | 71 |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 245 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 21 |
کاربرد روش L1 – تقریب در معادلات انتگرال تکین
- مقدمه: معادلات انتگرال را می‌توان با استفاده از فن LP – تقریب (به ویژه L1 تقریب) به طور موثری حل کرد. در این متن فن کلی را مورد بحث قرار می‌دهیم و سپس آن را با حل چند معادله انتگرال مختلف توضیح می‌دهیم. علاوه برامتیازات دیگر، این روش به طور موفقیت آمیزی در مورد معادلات انتگرال تکین و همین طور معادلات انتگرال قویاً تکین (نظیر انتگرال های آدامار یا متناهی – قسمت) تعمیم داده شده و به کار رفته است. در بحث حاضر، مروری بر این مطالعه ارائه میشود.
2- مقدمات ریاضی :
به طور کلی هدف این متن عبارت است از کاربرد فن LP- تقریب در حل یک معادله انتگرال فردهولم (خطی یا غیر خطی) نوع اول یا دوم به صورت
در معادلة بالا تابع هدایتگر و هسته K توابعی معلوم اند، در حالی که تابع مجهول است که باید آن را بیابیم پارامتر نیز معلوم است. مساله کلی LP- تقریب پیوسته را می‌توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:
تابع f معین روی یک بازة حقیقی مانند x همراه با یک تابع تقریب مانند F(A)، که به متغیر n پارامتری A=(a1 , …,an) در Rn وابسته است، مفروض اند.
در این صورت مساله LP- تقریب پیوسته به این معنی است که باید برداری مانند به گونه ای بیابیم که به ازای هر رابطة :
برقرار باشد.
جنبة اصلی مساله که باید مورد بحث واقع شود فرمول بندی مجدد مساله معادله انتگرال به صورت یک مساله LP- تقریب است. برای این منظور، فرض کنیم بتوان تابع جواب را با تابع F(A)، که ممکن است خطی یا غیر خطی باشد، تقریب زد. اگر این تقریب را در معادله انتگرال بگذاریم، رابطة زیر به دست می‌آید:
در آن صورت مساله تقریب را می‌توان بر حسب LP- نرم به صورت:
بیان کرد که در آن F(A,x) نسبت به A روی Rn و نسبت به x روی [a,b] تعریف شده است. توجه داشته باشید که می‌توان عبارت
را تابعی مانند تلقی کنیم که فقط به A بستگی دارد. پس می‌توان مسأله تقریب را به عنوان یک مسأله مینیمم سازی غیر مقید وابسته به n متغیر an,...,a1 در نظر گرفت. بنابراین، J فقط باید نسبت به این متغیرها مینیمم شود. در نتیجه، با حل مسأله مینیمم سازی بالا امکان حل تقریبی معادله انتگرال وجود دارد.
برای مطالعة درباره جزئیات این فن (و از جمله آنالیز ریاضی) مراجع [19] , [18] تالیف De Klerk را ببینید.
در این مرحله دو تفسیرزیر ضروری اند:
مقادیر مخلتف P را می‌توان مورد استفاده قرار داد. برای مثال به ازای P=1 مسأله منجر میشود به مسأله کمترین قدر مطلق و به ازای P=2 مسأله منجر میشود به مسألة کمترین مربعات. دلیلی وجودندارد که مقادیر مثبت دیگر P را در نظر نگیریم. حالت P=2 را بیشتر می شناسیم، در حالی که حالت P=1 کمتر آشناست. بنابراین احساس می‌شد که این حالت باید حاوی چالش های عددی جالبی (در رابطه با قدر مطلقی که در انتگرالده ایجاد می شود) باشد. توجه داشته باشید که خطی یا غیر خطی بودن انتگرالده بالا نسبت به A بستگی به تابع تقریب F(A) و هسته K دارد. در روش عددی ای که در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرد تمایز خاصی بین خطی یا غیر خطی بودن قائل نمی‌شویم.
3- شیوة عددی و مثال ها :
فن عددی در اصل از دو شیوة عددی تشکیل شده است، یعنی شیوة مینیمم سازی و شیوة انتگرال گیری.
مینیمم سازی با استفاده ازیک الگوریتم استاندارد بهینه سازی انجام می‌گیرد. الگوریتم UMPOL در IMSL Library که بر پایة روش «سیمپلکس داون هیل» از نلدر و مید (به مثال [37] تالیف Press مراجعه کنید)، که گر چه زیاد سریع نیست اما این مزیت را دارد که بسیار قوی است و به مشتق گیری ها نیازی ندارد. در واقع ماشین سر به زیری است که معمولاً مقدار مینیمم یک تابع را به درستی می‌یابد . همچنین
De Klerk در [20] متذکر شده است که روش لووس- جاکولا [34] نیز روشی قوی است که به مشتق گیری ها نیازی ندارد و بررسی بیشتر جواب هایی که با بهره گیری ازاین روش بدست می آیند را مفید دانسته است.
انتگرال گیری عددی با استفاده از فن کوادراتور اتوماتیکی که ونتر و لاوری [3] با یک انتگرالده به صورت g(|f(x)|) آورده اند، انجام میشود. برای بدست آوردن این شیوه این محققین رویة انتگرال گیری تطبیقی استاندارد QAGE را تغییر داده اند (از QUAD PACK تالیف [35] Piessens ). در حین فرایند انتگرال گیری، با استفاده ازمقادیر موجود برای تابع، صفرهای تابع پیدا میشوند که از آنها (صفرهای تابع) به عنوان نقاط تقسیم در انتگرال گیری استفاده می‌کنیم.
در [20] ذکر شده است که ونتر ولاوری این روش را با موفقیت بالایی امتحان کرده اند، همچنین در پایان نامه دکتری ونتر نیز از بکارگیری این روش نتایج خوبی بدست آمده است [8].
De Klerk در [18] نتایج رضایت بخشی را با استفاده از این استراتژی تقریب بدست آورده است.
بر خلاف بسیاری روش های دیگر، با استفاده از روشی تقریبی نظیر روش یاد شده، در ساختن جواب نیز آزادی عمل بیشتری داریم (مثلا می توان توابع گویا و توابع مثلثاتی را بکار برد).
با اینکه داشتن تجربه در ارتباط با انتخاب یک تابع تقریب لازم است اما این امر موجب کنار گذاردن روش مذکور نمی شود.
De Klerk با در نظر گرفتن مثال های زیر، برخی از نتایج اصلی سال های گذشته را به بحث می‌گذارد.
مثال (1- ) پارامتر به سمت یکی از مقادیر ویژه مسأله میل میکند.
هسته جدایی پذیر زیر را در نظر بگیرید، داریم :
که در آن دو مجموعه از توابع مستقل خطی هستند.
در این حالت معادله انتگرال فردهولم به طور کلی یک و فقط یک جواب دارد. تنها استثنا وقتی است که یکی از مقادیر ویژه هسته را به خود می‌گیرد که در این حالت مسأله جواب ندارد (Tricomi [9]) . مثال بعد کارایی فن مذکور را نشان میدهد. معادله انتگرال فردهولم نوع دوم زیررا در نظر بگیرید.
کارایی الگوریتم مسیریابی شکسته شده برای شبکه های چندبخشی سه طبقه
| دسته بندی | ریاضی |
| بازدید ها | 57 |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 89 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 26 |
کارایی الگوریتم مسیریابی شکسته شده برای شبکه های چندبخشی سه طبقه
چکیده:
این مقاله شبکه های سویچنگ سه طبقه clos را از نظر احتمال bloking برای ترافیک تصادفی در ارتباطات چند بخشی بررسی می کند حتی چنانچه سویچ های ورودی توانایی چند بخشی را نداشته باشند و نیاز داشته باشند به تعداد زیاد وغیرمجازی از سویچهای میانی برای فراهم کردن این مسیرهایی که پلاک نشوند مطابق درخواستها مدل احتمالی این دید را به ما میدهد که احتمال پلاک شدن در آن بسیار کاهش یافته و تقریبا به صفر می رسد در ضمن اینکه تعداد سویچهای میانی بسیار کمتر از تعداد تئوریک آن است.
در این مقاله یک الگوریتم مسیریابی شکسته شده را فعال پلاک شدن در آن معدنی شده است برای اینکه قابلیت مسیریابی با fanout بالا را برآورده کند. ما همچنین مدل تحلیلی را بوسیله شبه سازی کردن شبکه بر روی
فهرست اصطلاحات: چند بخشی، ارزیابی عملکرد، مدل احتمالی، شبکه های سویچینگ
معدنی:
شبکه های clos بخاطر انعطاف پذیری وساده بود نشان بطور گسترده در شبکه های تلفن، ارتباطات Data و سیستمهای محاسبه ای موازی بکار برده می شوند. کارایی خیلی از برنامه های کاربردی بوسیله یک عمل چند بخشی موثر که پیغامی را به چند دریافت کننده بصورت همزمان می فرستد بهتر می شود. به عنوان مثال در سیستمهای چند پردازنده ای یک متغیر همزمان سازی قبل از آنکه پرازنده ا بکارشان ادامه دهند باید فرستاده شود. همانطوریکه برنامه های کاربردی به خدمات چند بخشی موثر که توسعه پیدا کرده نیاز دارند در طی چند سال اخیر حتی در شبکه های با دامنه عمومی طراحی سیستمهای سویچینگ که بطور موثر بادرخواستهای چندبخشی سروکار دارد نیز اهمیت پیدا کرده است.
تلاشهای زیادی برای سازگار کردن شبکه های clos (که در ابتدا برای ارتباطات نقطه به نقطه توسعه پیدا کرده بودند) برای آنکه با ارتباطات چند بخشی وفق پیدا کنند انجام شده است.شبکه clos چند بخشی با قابلیت پلاک نشدن هنوز بسیار گران در نظر گرفته میشوند برای همین کارایی آن را روی پیکربندی های کوچکتر از معمول در نظر نمی گیرند.
یک شبکه clos سه طبقه بوسیله نشان داده می شود که سویچهای طبقه ورودی m سویچهای لایه میانی و سویچهای لایه خروجی است، هر کدام از سویچهای لایه ورودی تاپورت ورودی خارجی دارند و به هر کدام از سویچهای لایه میانی اتصال دارد بنابراین ارتباط بین طبقه ورودی وطبقه میانی وجود دارد . هر سویچ طبقه خروجی عدد پورت خروجی دارد و به هر کدام از سویچها یک درخواست اتصال نشان داده میشود به شکل c(x,y) که در آن x یک سویچ ورودی و را یک مجموعه مقصد از سویچهای خروجی است.
چندی /1 درجه fanout درخواست نامیده می شود. به یک مجموعه از درخواستهای اتصال سازگار گفته می شود اگر جمع تصادفات هر کدام از سویچهای ورودی از بزرگتر نباشد وجمع تصادفات کدام از سویچهای خروجی بزرگتر از نباشد.
یک درخواست با شبکه موجود سازگار است اگر تمام درخواستها و همچنین درخواست جدید سازگار باشد در شکل (1) برای نمونه با پیکربندی موجود سازگار است ولی سازگار نیست جون سویچ خروجی شماره 1 درخواست را قبلا حمل کرده است. یک خط سیر برای درخواست اتصال جدید یک درخت است که سویچ ورودی x را به مجموعه /1 تا سویچ خروجی از میان سویچهای میانی متصل می کند. یک درخواست اتصال قابل هدایت است اگر یک مسیر روی تمامی اتصالات بین طبقه ای پیدا کند وبتواند ردر انحصار قرار دهد.
ماسول و جدول برای اولین بار nonblacking محض /1 وشبکه clos سه طبقه قابل بازآیی را برای اتصالات چندگانه که اتصالات بین هر تعداد از سویچهای ورودی وسویچیهای خروجی بوجود می آورد را معدنی کردند.
هرانگ قابلیت بازایی وخواص nonblaking شبکه های clos چند بخشی را تحت شرایط مختلف ومحدودیت های fonout مورد بررسی قرار داد
یانگ وماسول اولین تحلیل خود را که اجازه می داد سویچهای هر طبقه برای کاهش نیازهای سخت افزاری همانند سازی کند را انجام دادند آنها ثابت کردند که اگر تعداد سویچهای میانی o(nlogr/logloyr) باشد آنگاه شبکه nonblacking بوجود آمده است که تمام درخواستها از حداکثر k عدد سویچ میانی استفاده می کند که k نیز ثابت می باشد. علاوه بر مطالعات شبکه های clos چندبخشی nonblamking چندین تلاش رویکرد برای تعیین رفتاری blacking شبکه های swiching برای ارتباطات نقطه نقطه وجود داشت.
این تحقیق مدلهای احتمالی را را که بصورت نزدیکی رفتار شبکه های سویچینگ سه طبقه ای را تخمین می زند را تامین می کند.
برای ارتباطات چند بخشی هرانگ ولین یک مدل blocking از درخواستهای چند پخشی قابل بازآرایی را در شبکه clos نقطه به نقطه nonblocking با فرمول c(n,r,2n-1) پیشنهاد کردند. یانگ ووانگ رفتار blaocking درخواستهای چند پخشی را روی شبکه clos بوسیله بسط دادن مدل بررسی کردند
تحقیق در مورد ماتریس
| دسته بندی | ریاضی |
| بازدید ها | 27 |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 186 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 38 |
ماتریس
مقدمه :
شاید یکی از کاربردی ترین مفاهیم و مباحث ریاضی ، مبحث مربوط به ماتریس است که از آن به عنوان ابزاری قوی در مباحث دیگر ریاضیات و بخصوص در فیزیک کوانتم و علومی چون آمار ، حسابداری و ........ استفاده می شود . امروزه ماتریس ها یکی از ابزارهای اساسی محاسبات علمی ریاضیات به حساب می روند و در واقع ، نقش امروز ماتریس ها در ریاضیات و پیشبرد آن ، مانند نقش دیروز اعداد است . ریاضیات کاربردی ، در تمام شاخه ها ، نیاز مبرم به ماتریس دارد ، به خصوص که در بیش تر موارد حل مسائل عملی به نوعی با حل دستگاه های معادلات یا نامعادلات پیوند می خورد که حل چنین دستگاه هایی با ماتریس ها ارتباط تنگاتنگ دارد . ا زاین ور ، این مبحث حتی در سطح دبیرستان نیز از اهمیت ویژه ای برخوردار است ، به طوری که هم در کتاب درسی ریاضیات سال دوم ، هم در هندسه ی تحلیلی و جبر خطی دوره ی پیش دانشگاهی و هم در کتاب های ریاضی عمومی رشته های مهندسی از آن استفاده شده است . لذا ، با مطالعه و یادگیری مفاهیم مربوط به ماتریس ها و کاربرد آن ها ، یکی از جالب ترین و در عین حال ، مفید ترین موضوعات ریاضی بررسی خواهد شد .
تعریف ماتریس : بر اساس تعریفی که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی به نام «کیلی» برای ماتریس ارائه داد ، «ماتریس ، آرایشی از اعداد حقیقی است که روی سطرها و ستون های منظم قرار گرفته و با دو کروشه محصور شده باشند .» هر یک از اعداد حقیقی موجود در یک ماتریس را یک درایه یا عنصر آن ماتریس می نامند .
هر یک از آرایش های زیر یک ماتریس است : (ماتریس ها را با حروف بزرگ نشان می دهیم . )
هر درایه در یک ماتریس ، در تقاطع یک سطر با یک ستون قرار دارد ، مثلاً در ماتریس A ، عدد 2 در تقاطع سطر اول با ستون دوم قرار دارد و یا در ماتریس B ، عدد در تقاطع سطر دوم و ستون دوم واقع است که در واقع ، جایگاه هر درایه در هر ماتریس با همین تقاطع ها مشخص و برای هر درایه در هر ماتریس دو اندیس در نظر گرفته می شود که اولی سطر و دومی ستون مربوط به آن درایه را معلوم می کند . برای مثال ، وقتی می نویسیم یعنی درایه ی روی سطر دوم و ستون سوم و برای هر ماتریس نیز دو اندیس در نظر گرفته می شود که اندیس اول ( از چپ ) تعداد سطرها و اندیس دوم تعداد ستون های آن ماتریس را نشان می دهد . برای مثال اگر B ماتریسی با دو سطر و سه ستون باشد ، می نویسیم و می گوییم « B ماتریسی 2 در 3 » یا «از مرتبه ی 2 در 3 » است ، و در حالت کلی اگر A ماتریسی باشد ، داریم :
روش های تکراری پیش فرض در مسائل گسسته خطی از منظر معکوس« بایسیان»
| دسته بندی | ریاضی |
| بازدید ها | 20 |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 107 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 40 |
روش های تکراری پیش فرض در مسائل گسسته خطی از منظر معکوس« بایسیان»
چکیده:
در این مقاله ما با مسائل گسسته خطی که با روشهای تکراری قابل حل می باشد از نظر آماری معکوس بایسیان روبرو خواهیم شد پس از بررسی اجمالی روش های تکراری عمده برای حل مسائل ناقص خطی و برخی نتایج آماری اولیه و روشهای آماری استراتژیهای ترسیمی را مورد تجزیه و تحلیل قرار خواهیم داد. نمونه های محاسبه شده رابط بین این دو را تشریح می کند.
کلمات کلیدی: حل های معکوس( امتحانی) فضای فرعی« کریلا» و روش معکوس« بایسیان»
پیش فرضها مسائل ناقص
(1) مقدمه
استفاده از روشهای تکراری برای حل سیستمهای خطی معادلات روشی انتخابی است هنگامی که ابعاد سیستم آنقدر بزرگ باشد که
فاکتورسازی ماتریس A را غیر عملی سازد یا هنگامی که ماتریس آن بطور صریح مجهول باشد و ما بآسانی بتوانیم حاصلضرب آن را با هر گونه بردار معلومی محاسبه کنیم. هنگامی که سیستم خطی در رابطه با گسستگی مسائل خطی ناقص سمت راست b اطلاعات و فرضیات را مورد بررسی قرار دهد، نقش مسائل متوالی در ماتریس A افزایش می یابد و بنابراین حل مسائل برای یافتن خطا در داده ها مهم و ضروری به نظر می رسد. بمنظور حفظ خطا در نشان دادن صورت b برخی از روشهای بدست آوردن مجهولات بایستی مشخص شود در زمینه روشهای معکوس بمنظور حل مجهولات بواسطه توقف کردن تکرار قبل از همگرایی در حل سیستم های خطی بهتر است به تکرار های ناقص رجوع شود. تجزیه و تحلیل کامل در ویژگی های معلوم کردن به روش CG در معادلات کامل هنگامی که می توان از معیارهای بازدارندگی مناسب استفاده کرد در بخش ] 10 [ قابل بحث می باشد.
در صورتیکهM ماتریس معکوس باشد، براساس ویژگی های طیفی MA همگرایی سریعترین برای روشهای حل تکراری ایجاد می کند. ماتریس M ماتریس شرطی سمت چپ برای سیستم خطی(1) نامیده می شود قابلیت امتحان ماتریس M نشان میدهد که سیستم های (1) و (2) راه حل یکسانی دارند انتخاب یک ماتریس شرطی مقدم M نشان می دهد که چنین ماتریسی نه تنها ویژگی های طیفی ماتریس A را تغییر می دهد بلکه بمنظور حل سیستم های خطی با مضروب ماتریس A بآسانی می توان آن را در کل بردار ضرب کرد. در حقیقت در هنگام حل سیستم 2 به روش تکرار لازم است ضرب ماتریس در بردار را در فرم مورد محاسبه قرار دهیم. سیستم خطی (1) با معادله زیر قابل جانشینی است.
(3)
ماتریس معکوس
در صورتی کهM ماتریس معکوس باشد در این مورد M ماتریس شرطی اولیه را ست نامیده می شود و از آنجائیکه هنگام حل سیستم خطی لازم است ضرب ماتریس در بردار را که بصورت نشان داده می شود محاسبه کنیم حل سیستم خطی با ضریب ماتریس A نیز ضروری به نظر می رسد یکی از شرایط برای روشهای حل تکراری در سیستم های خطی را می توان در بخش 19 مشاهده کرد زمانی که سیستم خطی از پراکندگی مسائل ناقص خطی ناشی می شود لازم و ضروری است که این مسائل را حل کرد در عوض تغییر مسیر از شتاب دهنده های همگرا به یک افزایش دهنده کیفیت در حل مسائل محاسبه شده به هیچ روش امکان پذیر نمی باشد. علاوه بر آن سمت و جهتی که معکوس ماتریس بکار می رود بسیار مهم است.در حل تکراری مسائل خطی یک شرط اولیه سمت راست مرتبط با داده های کاملاً منسجم و موجود در مورد حل در حالیکه شرایط لازم الاجرای سمت چپ داده هایی در مورد تمایز ویژگی های آماری ارائه می دهد در حالی که کاربرد این فرضیات در رابطه با روشهای تکراری در سیستم های خطی مشابه و مسائل خطی ناقص بر هم مرتبط است ساخت این پیش فرضیات مناسب کاملاً متغیر بوده و در موارد بعدی برای فهم اینکه چگونه این پیش فرضیات بر کیفیت حل مسائل اثر گذارنده مهم بنظر می رسد.
برخی انواع داده های قبلی در مورد حل ممکن است قابل تغیر به یک تغییرات مناسب در جهت حل های تکراری باشد بعنوان مثال داده هایی در مورد حد های بالایی و پائینی در حل اعداد صحیح بواسطه مراحل ترسیم سازی، پس از ترسیم روش تقریبی روش های تکراری با استفاده از روش های حل ترسیمی بعنوان یک سری حدسیات اولیه جدید آغاز می شود رجوع شود به] 3 [ فرایند ادامه می یابد تا یک معیاری برای توقف حاصل شود این امر باعث می شود روشهای مؤثر محاسباتی نسبت به مدل های استاندارد تأثیر بهتری داشته باشد.
این مقاله به صورت زیر تنظیم شده است در بخش 2 ما مختصراً برخی از تحقیقات در زمینه روشهای تکراری کریلا و را برای مسائل ناقس و گسسته خطی مورد بررسی قرار می دهیم بخس 3 یک بررسی اجمالی در مورد نتایج آماری مورد نیاز می باشد بخش 4 رابطه بین پیش فرضیات و مسائل معکوس آماری« بایسیان» را با اطلاعات آماری در زمینه حل و نقص را عنوان میکند بخش 5 چگونگی استفاده از استراتژیهای ترسیمی را باری فائق آمدن بر حدهای بالایی و پائینی در حل مسائل نشان میدهد. در بخش 6 ما دیدگاهی را مورد چگونگی انتخاب حدهای مناسب برای یک مجموعه مسائل خطی ناقص هنگامی که راه حل هایی برای حل حدها بخوبی شناخته نشده باشد و چگونگی فائق آمدن بر آن ها را با پیش فرضیات سمت راست مورد بررسی قرار می دهیم. رابطه بین پیش فرضیات سمت چپ و ویژگی های آماری در بخش 7 می آید بخش 8 نمونه های حل شده ای از عملکرد پیش فرض ها و استراتژی های ترسیمی را در بخشهای پیشین ارائه می دهد. نتایج و رئوس مطالب در بخش 9 موجود است.
مقاله معادلات فرد هولم
| دسته بندی | ریاضی |
| بازدید ها | 19 |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 89 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 11 |
معادلات فرد هولم
باهت ها با جبر ماتریسی: سه معادله انتگرال زیر را در نظر بگیرید
حدود تغییرات انتگرال گیری و تعریف توابع شامل است. حدود انتگرال گیری را تا لازم نباشند ذکر نمی کنیم. قبل از اینکه جواب، این معادلات را مطرح کنیم بهتر است که تقریب هایی ساده برای آنها بدست آوریم، سپس تقریب ها را مورد بحث قرار دهیم. برای این کار می توانیم ایده ای از خواص معادلات انتگرال را بدست آوریم، هر چند عموماً این خواص را به جای اثبات فقط معین می کنیم. در اینجا فرض می کنیم که معادلات ناتکین هستند.
فرض کنید یک عدد صحیح باشد و q,p اعداد صحیح مثبت کمتر از باشند. قرار می دهیم: .
با میل به سمت بی نهایت و h به سمت صفر، به درستی انتظار داریم که تقریب بهتر و بهتر شود.
به ترتیب تقریب هایی برای معادلات انتگرال (1-2)، (2-2)و(3-2) هستند.
معادلات (4-2)،(5-2)و(6-2) را می توان به ترتیب، به صورت ماتریسی بازنویسی کرد.